原题如下……
“素数也叫质数,是只能被自己和1整除的数,如2、3、5、7、11等等。”
“2300年前,古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个,并提出少量素数可写成“2^P-1”(其中指数P也是一个素数)的形式,这种素数被称为“梅森素数”(Mersenneprime)。”
“迄今为止。”
“人类仅发现48个梅森素数,梅森素数珍奇而迷人,因此被誉为“数海明珠”。”
“同时梅森素数的分布时疏时密、极不规则,另外人们尚未知梅森素数是否有无穷多个,因此探究梅森素数的重要性质——分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。”
“而目前的已知的规律猜测是,是由1976年,东云数学家老周所提出……”
“当2^(2^n)小于p小于2^(2^(n+1))时,Mp有2^(n+1)-1个是素数。”
“老周还据此作出推论:当p小于2^(2^(n+1))时,Mp有2^(n+2)-n-2个是素数。”
“(注:p为素数;n为自然数;Mp为梅森数)。”
“sp:试证明或者反证该猜测?”
“……”
以上。
就是该笔记本中所记内容。
后边还有很长,涉及相关的一些证明方法,已经各种论证,暂且省略。
还是那句话……
若是一般人看到这证明题,估计立马头昏眼花脚抽筋,要晕过去了。
只因……
这特么就是周氏猜想啊!
也叫梅森素数分布的猜测。
而梅森素数猜想,与孪生素数猜想,哥德巴赫猜想,ABC猜想,黎曼猜想又并称为素数方面的五大猜想。
虽然周氏猜测只是对梅森素数规律的猜测,且表达式貌似非常简单。
但若要证明或反证该猜测。
那难度不可谓不大。
反正已有无数数学方面的大家尝试证明,即便绞尽脑汁,可仍一无所获。
现在也不知是哪个黑手把该笔记本又摆在江南面前,那他能证明么?
若是过去,还真不好说。
但现在么?
这个可能性还是有的。
只见他翻开笔记本后,那是不惊反喜,并连忙找个桌子坐下,跃跃欲试。
话说……
他已经很久没看到过这么有难度的证明题,堪比之前的孪生素数猜想。
虽然有挑战。
但他最喜欢的就是挑战。
说不得。
他今天还非证明其不可。
“解:首先化解周氏猜测为:当2^(2^(n?1))小于p小于2^(2^n)时,Mp有2^n-1个是素数,πMp^(2^n)-πMp^(2^2(n?1))=2^n-1……(a)。”
“即当p<2^(2^n)时,πMp^(2^(2^n))梅森素数的个数为2^(n+1)-n-1。”
“……”
“先假设……”
“再求证……”
“可用反向数学归纳法……”
【一个包含正整数的集合如果具有如下性质,即若其包含整数k+1,则其也包含整数k,且1,2,3,4,5均在其中,那么这个集合一定是所以有正整数的集合。】
“反向数学归纳法成立的要件……”
“(1)基础步骤:(递推起始条件)当n=1,2,’3,4,5时都成立(具有同一性质)。”
“(2)归纳步骤:(假设推导条件)当假设n=k+1成立时能推出n=k成立。”
“(3)那么n到∞都成立。”
【sp:反向归纳比正向归纳更加严密,只因其多了四个递推的起始条件。】
“……”
“借用假设,在利用反向归纳法,通过若干推理步骤(108步打底),最终便可得出一个结论:无穷素数是无穷多的。”
“……”
“呼!”
也不知过了多久。
江南微微停了停笔,呼出口气,并用大拇指和食指掐了掐眉心。
嗯!
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